Correction devoir de contrôle n1math
1er année secondaire
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Exercice N°1 (5pts)
a) Décomposition en facteurs premiers:
700 = 2² × 5² × 7
168 = 2³ × 3 × 7
b) PGCD(700 ; 168) :
Le PGCD est obtenu en prenant les facteurs premiers communs avec les plus petits exposants.
Facteurs communs : 2² × 7 = 28
Donc, PGCD(700 ; 168) = 28
PPCM(700 ; 168) :
Le PPCM est obtenu en prenant tous les facteurs premiers avec les plus grands exposants.
PPCM = 2³ × 3 × 5² × 7 = 4200
Donc, PPCM(700 ; 168) = 4200
Rendre la fraction 168/700 irréductible :
On divise le numérateur et le dénominateur parAfficher la suite leur PGCD (28).
168 ÷ 28 = 6 et 700 ÷ 28 = 25
Fraction irréductible : 6/25
Exercice N°2 (3pts)
PGCD(520 ; 76) par l'Algorithme d'Euclide :
520 ÷ 76 = 6 (reste 40)
76 ÷ 40 = 1 (reste 36)
40 ÷ 36 = 1 (reste 4)
36 ÷ 4 = 9 (reste 0)
Le PGCD est 4.
PPCM(520 ; 76) :
PPCM = (520 × 76) / PGCD(520 ; 76) = (520 × 76) / 4 = 9880
Donc, PPCM(520 ; 76) = 9880
Exercice N°3 (4pts)
Déterminer les chiffres x et y pour que 125xy soit divisible par 3 et par 5 :
Pour que le nombre soit divisible par 5, y doit être 0 ou 5.
Pour qu'il soit divisible par 3, la somme des chiffres (1 + 2 + 5 + x + y) doit être un multiple de 3.
Si y = 0 : la somme est (1 + 2 + 5 + x) = 8 + x, donc x = 1 (car 8 + 1 = 9 qui est multiple de 3).
Si y = 5 : la somme est (1 + 2 + 5 + x + 5) = 13 + x, donc x = 2 (car 13 + 2 = 15 qui est multiple de 3).
Les solutions possibles sont : x = 1, y = 0 ou x = 2, y = 5.
Déterminer les entiers naturels n pour lesquels (n + 6) / (n + 1) est un entier :
(n + 6) / (n + 1) = 1 + 5 / (n + 1)
Pour que cette expression soit un entier, il faut que 5 / (n + 1) soit un entier, donc (n + 1) doit être un diviseur de 5.
Les diviseurs de 5 sont 1 et 5.
Donc n + 1 = 1, ce qui donne n = 0, ou n + 1 = 5, ce qui donne n = 4.
Les solutions sont n = 0 et n = 4.
Exercice N°4 (8pts)
Quelle est la nature du triangle DBC ? Justifier :
Le triangle DBC est isocèle car les angles DĈB et ĒBĈ sont égaux (ce sont des angles inscrits interceptant le même arc du cercle).
a) Montrer que DĈB = DÊB et ĒBĈ = DÊB :
DĈB = DÊB car ils interceptent le même arc (DB) dans le cercle.
ĒBĈ = DÊB car ils interceptent le même arc (EB) dans le cercle.
b) En déduire la nature du triangle FBC :
Le triangle FBC est isocèle car les angles à la base sont égaux (DĈB = ĒBĈ).
Soit G un point de (C) tel que [DC] est la bissectrice de l’angle ĒBĜ. Montrer que les droites [BG] et [DC] sont parallèles :
[DC] est la bissectrice de l'angle ĒBĜ, donc G est symétrique par rapport à [DC]. Ainsi, [BG] et [DC] sont parallèles par symétrie.
