Exercice 13 - Calculs avec Radicaux
1) Calculer :
\[(3 - 2\sqrt{5})(3 + 2\sqrt{5})\]
Théorème utilisé : Identité Remarquable
\[(a - b)(a + b) = a^2 - b^2\]
Cette identité s'applique au produit de deux binômes conjugués.
Solution détaillée :
• On pose : \(a = 3\) et \(b = 2\sqrt{5}\)
• Application de l'identité :
\[(3 - 2\sqrt{5})(3 + 2\sqrt{5}) = 3^2 - (2\sqrt{5})^2\]
• Calcul :
\[= 9 - 4 \times 5 = 9 - 20\]
• Résultat :
\[= -11\] ✓
2) Calculer \((\sqrt{5} - 1)^2\) puis déduire :
\[a = |3 - 2\sqrt{5}| - \sqrt{6 - 2\sqrt{5}}\]
Théorèmes utilisés :
1. Identité remarquable : \[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\]
2. Valeur absolue : \[|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}\]
3. Racine carrée : \[\sqrt{a^2} = |a|\]
Solution détaillée :
Étape 1 : Calcul de \((\sqrt{5} - 1)^2\)
\[(\sqrt{5} - 1)^2 = (\sqrt{5})^2 - 2 \times \sqrt{5} \times 1 + 1^2\]
\[= 5 - 2\sqrt{5} + 1 = 6 - 2\sqrt{5}\]
Étape 2 : Détermination du signe de \(3 - 2\sqrt{5}\)
D'après la question 1 : \((3 - 2\sqrt{5})(3 + 2\sqrt{5}) = -11 < 0\)
Or \(3 + 2\sqrt{5} > 0\) car \(3 > 0\) et \(2\sqrt{5} > 0\)
Donc nécessairement \(3 - 2\sqrt{5} < 0\)
Étape 3 : Calcul de \(|3 - 2\sqrt{5}|\)
Puisque \(3 - 2\sqrt{5} < 0\) :
\[|3 - 2\sqrt{5}| = -(3 - 2\sqrt{5}) = 2\sqrt{5} - 3\]
Étape 4 : Calcul de \(\sqrt{6 - 2\sqrt{5}}\)
\[\sqrt{6 - 2\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5} - 1)^2} = |\sqrt{5} - 1|\]
Déterminons le signe de \(\sqrt{5} - 1\) :
Comparons \(\sqrt{5}\) et \(1\) en élevant au carré (les deux sont positifs) :
\((\sqrt{5})^2 = 5 > 1 = 1^2\)
Donc \(\sqrt{5} > 1\), d'où \(\sqrt{5} - 1 > 0\)
\[= \sqrt{5} - 1\]
Étape 5 : Calcul final de \(a\)
\[a = (2\sqrt{5} - 3) - (\sqrt{5} - 1)\]
\[a = 2\sqrt{5} - 3 - \sqrt{5} + 1\]
\[a = \sqrt{5} - 2\] ✓
3) Soit :
\[b = \frac{\sqrt{12} \times \sqrt{75} + \sqrt{48} \times \sqrt{15}}{\sqrt{125} + \sqrt{5}}\]
Simplifier \(b\)
Théorèmes utilisés :
1. Produit de radicaux : \[\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}\]
2. Simplification : \[\sqrt{n^2 \times k} = n\sqrt{k}\]
3. Factorisation et Rationalisation du dénominateur
Solution détaillée :
Étape 1 : Simplifier les radicaux
\[\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}\]
\[\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3}\]
\[\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}\]
\[\sqrt{15} = \sqrt{15}\] (ne se simplifie pas)
\[\sqrt{125} = \sqrt{25 \times 5} = 5\sqrt{5}\]
Étape 2 : Calcul du numérateur - Premier terme
\[\sqrt{12} \times \sqrt{75} = 2\sqrt{3} \times 5\sqrt{3} = 10 \times 3 = 30\]
Étape 3 : Calcul du numérateur - Deuxième terme
\[\sqrt{48} \times \sqrt{15} = 4\sqrt{3} \times \sqrt{15}\]
\[= 4\sqrt{3 \times 15} = 4\sqrt{45}\]
\[= 4\sqrt{9 \times 5} = 4 \times 3\sqrt{5} = 12\sqrt{5}\]
Étape 4 : Numérateur total
\[\text{Numérateur} = 30 + 12\sqrt{5}\]
Étape 5 : Calcul du dénominateur
\[\text{Dénominateur} = 5\sqrt{5} + \sqrt{5} = 6\sqrt{5}\]
Étape 6 : Simplification de la fraction
\[b = \frac{30 + 12\sqrt{5}}{6\sqrt{5}} = \frac{6(5 + 2\sqrt{5})}{6\sqrt{5}} = \frac{5 + 2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\]
Étape 7 : Rationalisation
\[b = \frac{5 + 2\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{(5 + 2\sqrt{5})\sqrt{5}}{5}\]
\[= \frac{5\sqrt{5} + 2 \times 5}{5} = \frac{5\sqrt{5} + 10}{5}\]
\[= \frac{5(\sqrt{5} + 2)}{5} = \sqrt{5} + 2\]
Résultat final :
\[b = \sqrt{5} + 2\] ✓
4) Montrer que \(a\) et \(b\) sont inverses, puis calculer :
\[\frac{(a^3 b^{-2})^2}{(a b^{-1})^5}\]
Théorèmes utilisés :
1. Inverses : \(a\) et \(b\) sont inverses si \(a \times b = 1\)
2. Puissance d'une puissance : \[(a^n)^m = a^{n \times m}\]
3. Division de puissances : \[\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}\]
4. Puissance négative : \[a^{-n} = \frac{1}{a^n}\]
Solution détaillée :
Étape 1 : Vérifier que \(a \times b = 1\)
On a : \(a = \sqrt{5} - 2\) et \(b = \sqrt{5} + 2\)
\[a \times b = (\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2)\]
Application de l'identité remarquable \((x-y)(x+y) = x^2 - y^2\) :
\[= (\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5 - 4 = 1\]
✓
Donc \(a\) et \(b\) sont bien inverses : \(a = \frac{1}{b}\) ou \(b = \frac{1}{a}\)
Étape 2 : Simplification de l'expression
\[\frac{(a^3 b^{-2})^2}{(a b^{-1})^5} = \frac{a^6 b^{-4}}{a^5 b^{-5}}\]
Étape 3 : Application des règles de puissances
\[= a^{6-5} \times b^{-4-(-5)}\]
\[= a^1 \times b^1 = ab\]
Étape 4 : Résultat final
Puisque \(a \times b = 1\) :
\[\frac{(a^3 b^{-2})^2}{(a b^{-1})^5} = ab = 1\] ✓
Exercice 14 - Inégalités dans ℝ
Données : \(x \in \mathbb{R}_+^*\), \(y \in \mathbb{R}_+^*\), \(x \leq y\)
a) Comparer : \(2x + 3y\) et \(x + 4y\)
Théorème utilisé : Comparaison par différence
Si \(A - B \leq 0\) alors \(A \leq B\)
Si \(A - B \geq 0\) alors \(A \geq B\)
Solution :
\[(2x + 3y) - (x + 4y) = 2x + 3y - x - 4y = x - y\]
Or \(x \leq y\) donc \(x - y \leq 0\)
Conclusion : \(2x + 3y \leq x + 4y\) ✓
b) Comparer : \(2x + 3\) et \(2y + 3\)
Théorème utilisé : Conservation de l'ordre
Si \(a \leq b\) et \(k > 0\) alors \(ka \leq kb\)
Si \(a \leq b\) et \(c \in \mathbb{R}\) alors \(a + c \leq b + c\)
Solution :
Point de départ : \(x \leq y\)
Multiplier par \(2 > 0\) : \(2x \leq 2y\) (l'ordre est conservé)
Ajouter 3 aux deux membres : \(2x + 3 \leq 2y + 3\)
Conclusion : \(2x + 3 \leq 2y + 3\) ✓
c) Comparer : \(-4x - 5\) et \(-4y - 5\)
Théorème utilisé : Inversion de l'ordre
Si \(a \leq b\) et \(k < 0\) alors \(ka \geq kb\)
Important : L'inégalité s'inverse lors d'une multiplication par un nombre négatif !
Solution :
Point de départ : \(x \leq y\)
Multiplier par \(-4 < 0\) : \(-4x \geq -4y\) (inversion de l'ordre !)
Ajouter \(-5\) aux deux membres : \(-4x - 5 \geq -4y - 5\)
Conclusion : \(-4x - 5 \geq -4y - 5\) ✓
d) Comparer : \(3x - 5\) et \(3y + 2\)
Théorème utilisé : Comparaison par différence
Pour comparer deux expressions, on étudie le signe de leur différence
Solution :
\[(3x - 5) - (3y + 2) = 3x - 5 - 3y - 2\]
\[= 3(x - y) - 7\]
Or \(x \leq y\) donc \(x - y \leq 0\)
Donc \(3(x - y) \leq 0\)
Ainsi : \(3(x - y) - 7 \leq -7 < 0\)
Conclusion : \(3x - 5 < 3y + 2\) ✓
e) Comparer : \(2x + 3\) et \(3y + 7\)
Théorème utilisé : Transitivité de l'ordre
Si \(a \leq b\) et \(b \leq c\) alors \(a \leq c\)
Solution :
\(x \leq y\) donc \(2x \leq 2y\)
Or \(y > 0\) donc \(2y < 3y\)
Par transitivité : \(2x < 3y\)
En ajoutant respectivement 3 et 7 : \(2x + 3 < 3y + 7\)
Conclusion : \(2x + 3 < 3y + 7\) ✓
f) Comparer : \((2x + 5)^2\) et \((3y + 7)^2\)
Théorème utilisé : Fonction carrée croissante sur \(\mathbb{R}_+\)
Si \(0 \leq a \leq b\) alors \(a^2 \leq b^2\)
La fonction \(f(x) = x^2\) est croissante sur \(\mathbb{R}_+\)
Solution :
On a : \(2x + 5 > 0\) et \(3y + 7 > 0\) (car \(x, y > 0\))
On peut montrer que \(2x + 5 < 3y + 7\) (par raisonnement similaire à e))
La fonction carrée étant croissante sur \(\mathbb{R}_+\) :
Conclusion : \((2x + 5)^2 < (3y + 7)^2\) ✓
g) Comparer : \(\frac{1}{2x + 3}\) et \(\frac{1}{x + 1}\)
Théorème utilisé : Inversion de l'ordre pour les inverses
Si \(0 < a < b\) alors \(\frac{1}{a} > \frac{1}{b}\)
Important : L'ordre s'inverse quand on prend l'inverse !
Solution :
Comparons d'abord \(2x + 3\) et \(x + 1\) :
\[(2x + 3) - (x + 1) = x + 2 > 0\] (car \(x > 0\))
Donc \(2x + 3 > x + 1 > 0\)
En prenant l'inverse (avec inversion de l'ordre) :
Conclusion : \(\frac{1}{2x + 3} < \frac{1}{x + 1}\) ✓
h) Comparer : \(\frac{x + 1}{y}\) et \(\frac{y + 1}{x}\)
Théorème utilisé : Comparaison de fractions
Pour comparer \(\frac{A}{B}\) et \(\frac{C}{D}\) (avec \(B, D > 0\)), on compare \(A \times D\) et \(B \times C\)
Si \(A \times D < B \times C\) alors \(\frac{A}{B} < \frac{C}{D}\)
Solution :
Multiplier les deux membres par \(xy > 0\) (conserve l'ordre) :
Comparer \(x(x + 1)\) et \(y(y + 1)\)
\[x(x + 1) - y(y + 1) = x^2 + x - y^2 - y\]
\[= (x^2 - y^2) + (x - y)\]
\[= (x - y)(x + y) + (x - y)\]
\[= (x - y)(x + y + 1)\]
Or \(x \leq y\) donc \(x - y \leq 0\)
Et \(x + y + 1 > 0\) (car \(x, y > 0\))
Donc \((x - y)(x + y + 1) \leq 0\)
Conclusion : \(\frac{x + 1}{y} \leq \frac{y + 1}{x}\) ✓
Exercice 15 - Comparaisons diverses
a) Comparer : \(\frac{x}{x+1}\) et \(\frac{y}{y+1}\)
avec \(x, y \in \mathbb{R}_+^*\) et \(x \leq y\)
Théorème utilisé : Comparaison de fractions par différence
Pour comparer \(\frac{A}{B}\) et \(\frac{C}{D}\), on calcule :
\[\frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{AD - BC}{BD}\]
Le signe de cette différence détermine l'ordre
Solution :
\[\frac{x}{x+1} - \frac{y}{y+1} = \frac{x(y+1) - y(x+1)}{(x+1)(y+1)}\]
\[= \frac{xy + x - xy - y}{(x+1)(y+1)} = \frac{x - y}{(x+1)(y+1)}\]
Or \(x \leq y\) donc \(x - y \leq 0\)
Et \((x+1)(y+1) > 0\)
Conclusion : \(\frac{x}{x+1} \leq \frac{y}{y+1}\) ✓
b) Comparer : \(\frac{x}{y}\) et \(\frac{x+1}{y+1}\)
avec \(x, y \in \mathbb{R}_+^*\) et \(x \leq y\)
Théorème utilisé : Comparaison par différence
On étudie le signe de la différence entre les deux fractions
Solution :
\[\frac{x+1}{y+1} - \frac{x}{y} = \frac{y(x+1) - x(y+1)}{y(y+1)}\]
\[= \frac{xy + y - xy - x}{y(y+1)} = \frac{y - x}{y(y+1)}\]
Or \(y \geq x\) donc \(y - x \geq 0\)
Et \(y(y+1) > 0\)
Conclusion : \(\frac{x}{y} \leq \frac{x+1}{y+1}\) ✓
c) Comparer : \(\frac{-4}{x}\) et \(\frac{-3}{y}\)
avec \(x, y \in \mathbb{R}_+^*\) et \(x \leq y\)
Théorème utilisé : Inversion et multiplication par négatif
Si \(0 < a \leq b\) alors \(\frac{1}{a} \geq \frac{1}{b}\)
Si \(a \geq b\) et \(k < 0\) alors \(ka \leq kb\)
Solution :
Calculons la différence :
\[\frac{-4}{x} - \frac{-3}{y} = \frac{-4y + 3x}{xy} = \frac{3x - 4y}{xy}\]
Le signe dépend de \(3x\) et \(4y\)
Si \(x \leq y\), alors \(3x \leq 3y < 4y\)
Donc \(3x - 4y < 0\)
Conclusion : \(\frac{-4}{x} < \frac{-3}{y}\) ✓
e) Si \(x \in \mathbb{R}_+^*\) et \(y \in \mathbb{R}_+^*\), comparer : \(2x + 3\) et \(3y + 7\)
Théorème utilisé : Addition d'inégalités
On peut ajouter membre à membre des inégalités de même sens
Solution :
Si \(x \leq y\), alors \(2x \leq 2y\)
Or \(2y < 3y\) (car \(y > 0\))
Donc \(2x < 3y\)
En ajoutant 3 et 7 respectivement :
Conclusion : \(2x + 3 < 3y + 7\) ✓
f) Comparer : \(4x + 7y\) et \(2x + 9y\)
avec \(x, y \in \mathbb{R}_+^*\) et \(x \leq y\)
Théorème utilisé : Comparaison par différence
Si \(A - B \leq 0\) alors \(A \leq B\)
Solution :
\[(4x + 7y) - (2x + 9y) = 4x + 7y - 2x - 9y\]
\[= 2x - 2y = 2(x - y)\]
Or \(x \leq y\) donc \(x - y \leq 0\)
Donc \(2(x - y) \leq 0\)
Conclusion : \(4x + 7y \leq 2x + 9y\) ✓
g) Si \(a < b\) alors \(\frac{1}{a} > \frac{1}{b}\)
Vérifier avec \(2x + 3\) et \(x + 1\)
Théorème utilisé : Propriété des inverses
Si \(0 < a < b\) alors \(\frac{1}{a} > \frac{1}{b}\)
L'ordre s'inverse quand on prend l'inverse de nombres positifs
Solution :
\[(2x + 3) - (x + 1) = x + 2 > 0\] (car \(x > 0\))
Donc \(2x + 3 > x + 1 > 0\)
Par la propriété des inverses :
Conclusion : \(\frac{1}{2x + 3} < \frac{1}{x + 1}\) ✓
k) Comparer : \(\frac{x+1}{y}\) et \(\frac{y+1}{x}\)
avec \(x, y \in \mathbb{R}_+^*\) et \(x \leq y\)
Théorème utilisé : Comparaison croisée
On multiplie en croix pour comparer les fractions
Solution :
Multiplier par \(xy > 0\) :
Comparer \(2x(x+1)\) et \(xy(y+1)\)
\[x(x+1) - y(y+1) = x^2 + x - y^2 - y\]
\[= (x-y)(x+y+1) \leq 0\]
Conclusion : \(\frac{x+1}{y} \leq \frac{y+1}{x}\) ✓
l) Comparer : \(\sqrt{x^2 + y^2}\) et \(x + y\)
avec \(x, y \in \mathbb{R}_+\)
Théorème utilisé : Élévation au carré
Pour \(a, b \geq 0\) : \(a \leq b \Leftrightarrow a^2 \leq b^2\)
La fonction carrée est croissante sur \(\mathbb{R}_+\)
Solution :
Comparons les carrés (les deux termes sont positifs) :
\[(\sqrt{x^2 + y^2})^2 = x^2 + y^2\]
\[(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\]
\[(x + y)^2 - (\sqrt{x^2 + y^2})^2 = x^2 + 2xy + y^2 - x^2 - y^2\]
\[= 2xy \geq 0\] (car \(x, y \geq 0\))
Donc \((x + y)^2 \geq x^2 + y^2\)
En prenant la racine carrée (fonction croissante) :
Conclusion : \(\sqrt{x^2 + y^2} \leq x + y\) ✓
Égalité si et seulement si \(xy = 0\), c'est-à-dire \(x = 0\) ou \(y = 0\)
f) Comparer : \((2x + 5)^2\) et \((3y + 7)^2\)
Théorème utilisé : Croissance du carré sur \(\mathbb{R}_+\)
Si \(0 \leq a \leq b\) alors \(a^2 \leq b^2\)
Solution :
D'après une question précédente : \(2x + 5 < 3y + 7\)
Les deux termes sont positifs (car \(x, y > 0\))
En élevant au carré (opération qui conserve l'ordre sur \(\mathbb{R}_+\)) :
Conclusion : \((2x + 5)^2 < (3y + 7)^2\) ✓
1) Propriété : Si \(a, b \in \mathbb{R}_+\) et \(a \leq b\) alors \(a^2 \leq b^2\)
Théorème : Élévation au carré sur \(\mathbb{R}_+\)
Pour tous nombres positifs \(a\) et \(b\) :
\(\forall a, b \in \mathbb{R}_+, \; a \leq b \Leftrightarrow a^2 \leq b^2\)
Justification :
\[b^2 - a^2 = (b-a)(b+a)\]
Si \(a \leq b\) alors \(b - a \geq 0\)
Et \(a + b \geq 0\) (car \(a, b \geq 0\))
Donc \((b-a)(b+a) \geq 0\)
Conclusion : \(a^2 \leq b^2\) ✓
2) Propriété : Si \(a, b \in \mathbb{R}_-\) et \(a \leq b\) alors \(a^2 \geq b^2\)
Théorème : Élévation au carré sur \(\mathbb{R}_-\)
Pour tous nombres négatifs \(a\) et \(b\) :
\(\forall a, b \in \mathbb{R}_-, \; a \leq b \Leftrightarrow a^2 \geq b^2\)
Important : L'ordre s'inverse lors de l'élévation au carré sur \(\mathbb{R}_-\)
Justification :
Si \(a, b < 0\) et \(a \leq b\), alors en valeur absolue : \(|a| \geq |b|\)
Or pour des nombres négatifs : \(a^2 = |a|^2\) et \(b^2 = |b|^2\)
Donc \(a^2 = |a|^2 \geq |b|^2 = b^2\)
Conclusion : \(a^2 \geq b^2\) ✓
Exemple : \(-5 < -3\) mais \((-5)^2 = 25 > 9 = (-3)^2\)