Énoncé
1) Construire dans un repère orthonormal (O, OL, OJ), les droites Δ et Δ' représentations graphiques des équations :
-2x + y + 3 = 0 et 3x - 2y - 4 = 0
2) Résoudre graphiquement dans ℝ² le système (S) :
\[\begin{cases}
-2x + y + 3 = 0 \\
3x - 2y - 4 = 0
\end{cases}\]
3) Retrouver par calcul l'ensemble des solutions dans ℝ² du système (S).
4) En déduire les solutions du système :
\[\begin{cases}
-2\sqrt{x+1} + \frac{1}{y+3} + 3 = 0 \\
3\sqrt{x+1} - \frac{2}{y+3} - 4 = 0
\end{cases}\]
1) Tracé des droites
Droite Δ : -2x + y + 3 = 0 → y = 2x - 3
Points choisis pour le tracé : (0, -3) et (2, 1)
Droite Δ′ : 3x - 2y - 4 = 0 → y = 32x - 2
Points choisis pour le tracé : (0, -2) et (2, 1)
2) Résolution graphique
La solution pour ce système est le couple coordonnées du point d'intersection des deux droites Δ et Δ′ (2, 1).
Solution graphique : Sℝ² = {(2, 1)}
3) Résolution algébrique
Méthode par combinaison
Système initial :
\[\begin{cases}
-2x + y = -3 \quad \text{(1)} \\
3x - 2y = 4 \quad \text{(2)}
\end{cases}\]
Étape 1 : Multiplier l'équation (1) par 2
(1') -4x + 2y = -6
(2) 3x - 2y = 4
Étape 2 : Additionner (1') et (2)
-4x + 2y + 3x - 2y = -6 + 4
-x = -2
x = 2
Étape 3 : Substituer x = 2 dans (1)
-2(2) + y = -3
-4 + y = -3
y = 1
Méthode par substitution
Étape 1 : Exprimer y en fonction de x (équation 1)
-2x + y = -3 ⇒ y = 2x - 3
Étape 2 : Substituer dans l'équation (2)
3x - 2(2x - 3) = 4
3x - 4x + 6 = 4
-x = -2 ⇒ x = 2
Solution algébrique : Sℝ² = {(2, 1)}
4) Système avec racines et fractions
On pose le changement de variables :
\[
\begin{cases}
X = \sqrt{x+1} \\
Y = \dfrac{1}{y+3}
\end{cases}
\]
Le système devient alors :
\[
\begin{cases}
-2X + Y = -3 \\
3X - 2Y = 4
\end{cases}
\]
Ce qui correspond exactement au système (S) précédemment résolu.
Résolution :
\[
\begin{aligned}
X = 2 &\Rightarrow \sqrt{x+1} = 2 \\
&\Rightarrow x+1 = 4 \\
&\Rightarrow x = 3 \\
\\
Y = 1 &\Rightarrow \dfrac{1}{y+3} = 1 \\
&\Rightarrow y+3 = 1 \\
&\Rightarrow y = -2
\end{aligned}
\]
Solution : Sℝ² = {(3, -2)}
Énoncé
On considère la droite Δ munie du repère (O, Oi).
A, B, C et D sont quatre points de Δ :
1) Calculer les mesures algébriques AB, AC et CD puis calculer les distances AB, AC et CD.
2) Trouver l'abscisse xM du point M tel que \(\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DB}\).
3) Calculer les abscisses des points O, A, B, C, D et M dans le repère (A, \(\overrightarrow{AB}\)).
1) Mesures algébriques et distances
Abscisses des points :
- A = 3
- B = 6
- C = -2
- D = -4
- O = 0
Mesures algébriques :
\[
\begin{aligned}
\overline{AB} &= x_B - x_A = 6 - 3 = 3 \\
\overline{AC} &= x_C - x_A = -2 - 3 = -5 \\
\overline{CD} &= x_D - x_C = -4 - (-2) = -2 \\
\end{aligned}
\]
Distances :
\[
\begin{aligned}
AB &= |\overline{AB}| = |3| = 3 \\
AC &= |\overline{AC}| = |-5| = 5 \\
CD &= |\overline{CD}| = |-2| = 2 \\
\end{aligned}
\]
2) Abscisse du point M
Calcul des vecteurs :
\[
\begin{aligned}
\overrightarrow{AC} &= (x_C - x_A)\vec{i} = (-2 - 3)\vec{i} = -5\vec{i} \\
\overrightarrow{DB} &= (x_B - x_D)\vec{i} = (6 - (-4))\vec{i} = 10\vec{i} \\
\overrightarrow{OM} &= \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DB} = -5\vec{i} + 10\vec{i} = 5\vec{i} \\
\end{aligned}
\]
Abscisse de M :
\[
\overrightarrow{OM} = x_M\vec{i} = 5\vec{i} \Rightarrow x_M = 5
\]
Solution : xM = 5
3) Changement de repère (A, vecteur AB)
Nouveau repère : (A, \(\overrightarrow{AB}\))
Dans l'ancien repère (O, \(\vec{i}\)) :
\[
\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A)\vec{i} = 3\vec{i}
\]
Relations vectorielles :
\[
\begin{aligned}
\overrightarrow{AO} &= (x_O - x_A)\vec{i} = -3\vec{i} = -1 \times \overrightarrow{AB} \\
\overrightarrow{AA} &= \vec{0} = 0 \times \overrightarrow{AB} \\
\overrightarrow{AB} &= 3\vec{i} = 1 \times \overrightarrow{AB} \\
\overrightarrow{AC} &= (x_C - x_A)\vec{i} = -5\vec{i} = -\frac{5}{3} \overrightarrow{AB} \\
\overrightarrow{AD} &= (x_D - x_A)\vec{i} = -7\vec{i} = -\frac{7}{3} \overrightarrow{AB} \\
\overrightarrow{AM} &= (x_M - x_A)\vec{i} = 2\vec{i} = \frac{2}{3} \overrightarrow{AB} \\
\end{aligned}
\]
Nouvelles abscisses :
\[
\begin{aligned}
\text{Abscisse de O} &= -1 \quad (\text{car } \overrightarrow{AO} = -1 \overrightarrow{AB}) \\
\text{Abscisse de A} &= 0 \\
\text{Abscisse de B} &= 1 \\
\text{Abscisse de C} &= -\frac{5}{3} \\
\text{Abscisse de D} &= -\frac{7}{3} \\
\text{Abscisse de M} &= \frac{2}{3} \\
\end{aligned}
\]
Nouvelles abscisses dans (A, \(\overrightarrow{AB}\)) :
O' = -1, A' = 0, B' = 1, C' = -5/3, D' = -7/3, M' = 2/3
Énoncé
Un groupe d'amis, dont certains sont étudiants, va au cinéma :
- Prix place non-étudiant : 4,20 dinars
- Prix place étudiant : 3,30 dinars
- Total payé : 129 dinars
Le même groupe assiste à un concert :
- Prix place non-étudiant : 20 dinars
- Prix place étudiant : 10 dinars
- Total payé : 500 dinars
Trouver la proportion d'étudiants dans ce groupe.
Variables :
- \( x \) = nombre d'étudiants
- \( y \) = nombre de non-étudiants
Système d'équations :
\[
\begin{cases}
3.30x + 4.20y = 129 \quad \text{(Cinéma)} \\
10x + 20y = 500 \quad \text{(Concert)}
\end{cases}
\]
Méthode 1 : Combinaison linéaire
Étape 1 : Simplifier la 2ème équation (÷10)
\[ x + 2y = 50 \quad \text{(2')} \]
Étape 2 : Multiplier (2') par -3.3
\[ -3.3x - 6.6y = -165 \quad \text{(2'')} \]
Étape 3 : Additionner (1) et (2'')
\[ (3.3x - 3.3x) + (4.2y - 6.6y) = 129 - 165 \]
\[ -2.4y = -36 \]
\[ y = \frac{-36}{-2.4} = 15 \]
Étape 4 : Trouver x avec (2')
\[ x + 2(15) = 50 \]
\[ x = 50 - 30 = 20 \]
Méthode 2 : Substitution
Étape 1 : Simplifier la 2ème équation (÷10)
\[ x + 2y = 50 \quad \text{(2')} \]
Étape 2 : Exprimer x en fonction de y
\[ x = 50 - 2y \]
Étape 3 : Substituer dans la 1ère équation
\[ 3.3(50 - 2y) + 4.2y = 129 \]
\[ 165 - 6.6y + 4.2y = 129 \]
\[ -2.4y = -36 \]
\[ y = 15 \]
Étape 4 : Trouver x avec (2')
\[ x = 50 - 2(15) = 20 \]
Solution finale :
Nombre d'étudiants : 20
Nombre de non-étudiants : 15
Proportion d'étudiants : \(\frac{20}{35} \approx 57,1\%\)